\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\newcommand{\unit}[1]{\ensuremath{[\mathrm{#1}}]}

\begin{document}

\section{预备知识：国际单位制}
\footnote{本文是A.Zee.《物理夜航船》的学习笔记。使用AI辅助。}
在本文中，我们以\unit{...}表示这是一个单位，而$k=\unit{...}$表明物理量$k$的单位是$\unit{...}$。

首先介绍最基本的三个单位，它们分别用于度量长度、质量和时间，在国际单位制（SI）中定义如下：
\begin{itemize}
	\item 长度单位：\unit{m}
	\item 质量单位：\unit{kg}
	\item 时间单位：\unit{s}
\end{itemize}
由这些基本单位，我们可以引出其他常见的单位，包括速度、力、能量、压强、密度等：
\begin{itemize}
	\item 速度：由于$v=l/t$，因此速度的单位是$\unit{m}\unit{s}^{-1}$
	\item 力：由于$F=ma$，因此$\unit{N}=\unit{kg} \unit{m} \unit{s}^{-2}$
	\item 能量：由于$W=Fl$，因此$\unit{J}=\unit{N} \unit{m} = \unit{kg} \unit{m}^2 \unit{s}^{-2}$
	\item 压强：由于$P=F/A$, 因此$\unit{Pa}=\unit{N}\unit{m}^{-2}=\unit{kg} \unit{m}^{-1} \unit{s}^{-2}$
	\item 密度：由于$\rho = m/V$, 因此密度的单位是$\unit{kg} \unit{m}^{-3}$
\end{itemize}
这个列表可以被列得很长很长，因此我们只写出了一部分。

\newpage


\section{量纲分析：比较简单的一节}
量纲分析通过研究物理量之间的单位关系，揭示它们之间的潜在联系。
尽管量纲分析并非足够精确，亦无法解决所有问题，
但在某些情况下，它可以在不需要复杂数学的情况下提供深刻的见解。

\subsection{例子：弹簧振子}
最经典的物理模型之一莫过于连接在弹簧上的振子。
在高中物理中，我们已经知道连接在弹簧上的振子会做简谐振动，除非它静止不动。
具体而言，我们有以下两个公式：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		F &= k \Delta x \qquad \text{回复力}\\
		F &= ma  \qquad \text{牛二}\\
	\end{aligned}
\end{equation}
我们或许可以求解一个二阶ODE以精确地解决这个问题。但我们还可以运用量纲分析的思路，粗略地解决这个问题。

\textbf{基本物理量}

从这些公式中，我们大概意识到，这个问题中重要的物理量是弹簧的弹性系数$k$、质量$m$与振子位移$\Delta x$。

我们知道，
$F$的单位是$\unit{N}=\unit{kg} \unit{m} \unit{s}^{-2}$，
$m$的单位是$\unit{kg}$，
$\Delta x$的单位是$\unit{m}$。

此外，我们从$F=k\Delta x$中猜测$k$的单位是
$$k=\unit{kg} \unit{s}^{-2}$$

\textbf{周期}

首先，我们要求解弹簧的振动周期$T$，其应当具有时间量纲$\unit{s}$.
不难发现，既然$k$的单位是$k=\unit{kg} \unit{s}^{-2}$，而$m$的单位刚好又是$\unit{kg}$，
我们自然容易得到一个具有时间单位的物理量：
$$
\frac{k}{m} = \unit{s}^{-2}
$$
换句话说，
$$
T \propto \frac{1}{\sqrt{\frac{k}{m}}}
$$

\textbf{能量}

接下来我们要求解振子的能量$E$，其应当具有能量量纲$\unit{J}= \unit{kg} \unit{m}^2 \unit{s}^{-2}$。
我们发现，能量$E$只和$k$差一个$\unit{m}^2$，最可能的具有$\unit{m}^2$单位的物理量是$(\Delta x)^2$。
因此，
$$E \propto k(\Delta x)^2$$
综上所述，我们没有做任何超出小学数学的整数加减乘除，纯靠凑物理量的量纲就得到了各个物理量之间合适的依赖关系!

\newpage

\subsection{例子：圆周运动}
我们再来探讨一个经典问题，即环绕中心点运动的粒子，例如地球绕太阳的运动。
这里我们有两个关键公式：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		F &= \frac{C}{r^2} \qquad \text{有心力}\\
		F &= ma = m\frac{v^2}{r}  \qquad \text{圆周运动的牛二}\\
	\end{aligned}
\end{equation}

\textbf{基本物理量}

我们仍然猜测有价值的物理量是相互作用系数$C$、质量$m$与轨道半径$r$。

从$F=\frac{C}{r^2}$中我们猜测$C$的单位是
$$C=\unit{kg} \unit{m}^{3} \unit{s}^{-2}$$

\textbf{周期}

我们要求解粒子的周期$T$，其应当具有时间量纲$\unit{s}$。

一种可能的构造方式是：
$$
\frac{C}{m r^3} = \unit{s}^{-2}
$$
或
$$
T \propto \sqrt{\frac{1}{\frac{C}{m r^3}}}
$$
如果这不太直观，我们还可以写为
$$
r^3 T^{-2} \propto C/m
$$
右侧是一个无关$r$或$T$的常数，因此$r^3 T^{-2}$是定值。这是开普勒定理。

\textbf{能量}

接下来我们要求粒子轨道运动的能量$E$，其应当具有能量量纲$\unit{J}= \unit{kg} \unit{m}^2 \unit{s}^{-2}$。

显然，一个凑法是
$$
E \propto \frac{C}{r}
$$
这类比于电势能的定义，因此我们的猜测不无道理。

我们似乎还没有计算动能？但根据
$$F=m\frac{v^2}{r}=\frac{C}{r^2}$$
易得
$$E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \frac{C}{r} =\frac{1}{2} V$$
即在这种情况下，动能和势能的数值大小应该在同一量级。

\newpage

\subsection{例子：摆锤}
摆锤是系在线上的重物在重力下摆动的运动。
要正儿八经地分析摆锤的运动还是有点繁琐的，通常需要进行力的分解和微分方程求解。

我们于是选取一种更激进的方法，直接从量纲分析的角度论证摆锤的周期。
摆锤运动中重要的物理量应该主要是摆锤的质量$m$，摆线长度$l$与重力加速度$g$。
其中重力加速度的量纲是
$$g=\unit{m} \unit{s}^{-2}$$
现在，我们要找出摆锤的周期$T=\unit{s}$。
这些物理量中只有$g$含有$\unit{s}$，但是$g$却不含$\unit{kg}$，这似乎暗示了摆锤周期与质量$m$无关。
一个合理的猜测是，
$$
\frac{g}{l} = \unit{s}^{-2}
$$
因此，
$$
T \propto \sqrt{\frac{l}{g}}
$$


\newpage

\section{量纲分析2：Planck单位制}
除了自然单位制，理论物理中还有一种非常有趣的单位制，被称Planck单位制。
Planck单位制原则上仅是关于“宇宙的性质”，而无关人为的选择。
我们有以下物理常量：
\begin{itemize}
	\item 引力系数$G$: 由于$F=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$，因此$G=\unit{kg}^{-1} \unit{m}^3 \unit{s}^{-2}$
	\item 光速$c$：$c=\unit{m} \unit{s}^{-1}$
	\item 约化Planck常数$\hbar$：由于$E=\hbar\omega$，因此 $\hbar=\unit{J} \unit{s} = \unit{kg} \unit{m}^2 \unit{s}^{-1}$
\end{itemize}
我们接下来要用这些常数分别凑出具有$\unit{m},\unit{kg},\unit{s}$量纲的物理量。

我们先做长度。乍看之下，这么多单位让我们眼花缭乱，一时半会很难直接得到答案。
不过，我们可以假定：
$$
\unit{m} = G^\alpha c^\beta h^\gamma
$$
重点在于，这个等式左侧和右侧的量纲必须一致。进一步地，我们改写表示量纲的方式：
$$
\begin{aligned}
	G&=(3,-1,-2)^T\\
	c&=(1,0,-1)^T\\
	\hbar&=(2,1,-1)^T
\end{aligned}	
$$
其中使用数组表示量纲，数组中的元素分别表示$\unit{m}$、$\unit{kg}$、$\unit{s}$。
那么，上文“左侧和右侧的量纲必须一致”实则意味着：
$$
\begin{pmatrix}
3\\-1\\-2
\end{pmatrix} \alpha +
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix} \beta +
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix} \gamma
=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}
$$
聪明的我们已经看出，这是一个线性方程组问题：
$$
\begin{pmatrix}
3&1&2\\
-1&0&-1\\
-2&-1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\alpha\\
	\beta\\
	\gamma\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}
$$
解得
$$
\alpha = 1/2, \beta=-3/2, \gamma = 1/2
$$
因此
$$
\unit{m} = \sqrt{\frac{G \hbar}{c^3}}
$$
是具有长度量纲的物理量，称为Planck长度$l_P$。

类似地，我们发现：
\begin{equation}
\begin{aligned}
	\text{Planck长度} \quad l_P &= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \\
	\text{Planck质量} \quad m_P &= \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \\
	\text{Planck时间} \quad t_P &= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \\
\end{aligned}
\end{equation}
至此，我们得到了一把有趣的Planck单位制标尺。此外，这种将量纲分析改写为线性方程组的方法是Pi定理的一种平凡运用。

\newpage
\section{量纲分析3：热力学中的量纲分析}
我们将量纲分析的思路引入热力学。热力学中我们关心以下物理量：
\begin{itemize}
	\item 温度$T$：$T=\unit{K}$
	\item 能量$E$：$E=\unit{J}$
	\item 体积$V$：$V=\unit{m}^3$
	\item ...
\end{itemize}
此外，我们还可能涉及以下物理常数：
\begin{itemize}
	\item Boltzmann常数$k$：$k=\unit{J} \unit{K}^{-1}$
	\item 光速$c$：$c=\unit{m} \unit{s}^{-1}$
	\item 约化Planck常数$\hbar$ ：$\hbar=\unit{J} \unit{s}$
\end{itemize}
按照A. Zee的说法，引力在微观领域是弱的，因此我们不大需要$G$。

接下来，我们想找到$E$的表达式，即用$V,T,\hbar,c,k$凑出$E$。
由于这里没有显式涉及到质量，因此我们使用$\unit{J},\unit{m},\unit{s},\unit{K}$作为我们的基本单位。

仿照上文，我们假定
$$
E=c^{x_1}\hbar^{x_2}V^{x_3}T^{x_4}k^{x_5}
$$
列出量纲的矩阵方程：
$$
\begin{pmatrix}
	0&1&0&0&1\\
	1&0&3&0&0\\
	-1&1&0&0&0\\
	0&0&0&1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	x_1\\
	x_2\\
	x_3\\
	x_4\\
	x_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
	1\\0\\0\\0\\0
\end{pmatrix}
$$
行表示单位，按$\unit{J},\unit{m},\unit{s},\unit{K}$的顺序；列表示物理量，按$c,\hbar,V,T,k$的顺序。
很显然，不能指望这个方程组有唯一解，我们使用线性代数的方法设法找出通解和特解：
$$
x = 
\begin{pmatrix}
	1\\
	1\\
	-1/3\\
	0\\
	0\\
\end{pmatrix}
+
z
\begin{pmatrix}
	-1\\
	-1\\
	1/3\\
	1\\
	1
\end{pmatrix}
$$
其中$z$是任意实数。当然，我们最好希望$x$的各个分量都是整数。

一种可能是$z=1$，那么
$$
x=
\begin{pmatrix}
	0\\
	0\\
	0\\
	1\\
	1
\end{pmatrix}
$$
即
$$
E\propto kT
$$
这是理想气体的内能。
理想气体中气体粒子是低速且非简并的，动力学规律主要归牛顿管，因此没有出现$c,\hbar$也在预料之中。

还有一种可能是$z=4$，那么
$$
x=
\begin{pmatrix}
	-3\\
	-3\\
	1\\
	4\\
	4
\end{pmatrix}
$$
即
$$
E\propto \frac{V k^4T^4}{(\hbar c)^3}
$$
这是光子气体的内能，即黑体辐射的能量！


\end{document}
